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學數學到底有什么用?

發布時間:2019-08-13 來源:基石中學


 
如果有人不相信數學是簡單的,那是因為他們沒有意識到人生有多復雜。
——馮•諾依曼

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諾貝爾為什么沒有數學獎?
諾貝爾曾有一個比他小13歲的女友,后來他的女友和一個數學家私奔了,諾貝爾對此事一直耿耿于懷,后來一生未曾結婚,所以不設數學獎。——這只是個傳聞。
真正的原因是:在諾貝爾那個時代,數學還不是主要的學科,數學還沒有得到重大的發展。
1950年,納什在28頁的博士論文中提出一個重要概念:“納什均衡”,成為博弈論的重要突破。1994年,他和其他兩位博弈論學家共同獲得了諾貝爾經濟學獎。
納什最重要的數學成就是在微分幾何和偏微分方程的領域,一位著名幾何學家評價到:“他在幾何學所做的,從我看來,比起他在經濟學所做的無可比擬地偉大得多,相差很多個數量級。”
諾貝爾經濟學獎從1969年至2010年,共34屆,獲獎者51人,除了哈耶克,幾乎全都用到了數學工具;一半以上獲獎者有深厚數學功底,還有少數本身就是數學家。
大部分諾貝爾物理學獎、化學獎、醫學獎得主也有著數學功底。
現在數學被稱為“科學之王”。
 

2
首先我們得承認,我們在學校里學到的大部分數學知識,其實都是沒有用的?;叵胍幌履愕纳?,你買菜的時候真的用上一元二次方程了嗎?你這輩子有幾次用到了余切函數和微積分呢?
我國的數學教學方法也有很大的問題。如陳方正在《繼承與叛逆:現代科學為何出現于西方》中所言:
中國與西方數學的根本差別,即前者只重程序(即所謂‘法’),而不講究直接、詳細、明確的證明(即所謂‘義’)
 
雜志《新科學家》中有一句話:
Mathematics is a discovery rather than an invention
數學不是發明而是發現
 
數學家惲之瑋在一次采訪中說:
奧數的答案是知道的,數學科研的答案是不知道的,是探索的過程。真正的數學并不是在規定的時間快速給出答案。
 
2005年,溫家寶總理在看望錢學森的時候,錢老感慨說:“這么多年培養的學生,還沒有哪一個的學術成就,能夠跟民國時期培養的大師相比。”錢老又發問:“為什么我們的學??偸桥囵B不出杰出的人才?”
被認作中國十大國際友人的英國人李約瑟,他所提出的“李約瑟難題”,從開始至現在,由中國到世界,都充滿了爭論。
其主題是:“盡管中國古代對人類科技發展做出了很多重要貢獻,但為什么科學和工業革命沒有在近代的中國發生?”
錢學森之問與李約瑟難題一脈相承,都是對中國科學的關懷。
 

3
既然學了也用不到,我們為什么要學數學呢?
數學是一種語言,數學符號于數學家就相當于代碼于程序員。
 
倫敦大學的計算神經科學家和物理學家卡爾•弗里斯頓說:
數學具備簡潔、直接和齊整的特性,所以如果你把它看作一種語言的話,它比其他任何語言都更適合用來描述這個世界。從海豚到菌類生物,在進化的過程中,都在用數學的方式理解這個世界,解讀它的規則和邏輯,以便自己能夠存活下來。
 
數學家斯坦尼斯拉斯•德阿納,做了一個實驗,他邀請15個職業數學家和15個非數學領域的學者,邊思考問題,邊接受腦部掃描,然后他發現,當數學們思考數學問題的時候,他們腦部的某些區域是有特殊連接的。
也就是說,數學家一旦學會了數學的符號語言之后,就不會用普通的語言去思考數學問題了。
舉個簡單的例子:老板對你說:“你這周遲到很多!”,你心里肯定想:媽的,我這周就遲到3次,哪有很多呀,小張也遲到3次呀!
“很多”和“3”,定性和定量的分野。
普通人眼里的機會,在數學眼里是概率。
這里所謂的“語言”只是個類比,哈佛認知科學家戴維•帕金斯稱其為思維程序(Mindware),Kenneth Craik稱其為心智模式(Mental Model),查理芒格稱其為思維模型(Thinking Model)
而我們大部分人的工作與數學無關,所以什么樣的數學知識可以幫助我們呢?
 

4
著名數學家喬丹•艾倫伯格把數學知識分成了四個象限:
  • 在簡單-淺顯這個象限,我們有1+2=3這樣比較基礎的算術題,內容也不那么深奧。還比如三角函數sin2x=2sinxcosx,這些數學知識看起來復雜,但它們在概念上并沒有多大的理解難度。
  • 在復雜-淺顯這個象限,我們有兩位數的乘法、復雜定積分的運算。如果有了計算機,你其實并不需要耗費時間計算那么多位乘法運算,我們在學校要花費大量的時間學習解題技巧,其實對于理解數學的美并沒有幫助,相反可能還讓我們對數學倒了胃口。即使解決了這些問題,我們也不會因此更加了解我們所在的這個世界。
  • 在復雜-深奧這個象限,則是專業從事數學研究的人需要投入大量時間的地方。這里有眾多大名鼎鼎的定理和猜想,黎曼假設,費馬大定理,龐加萊猜想,哥德爾定理等。這些定理內涵豐富,具有重要的意義,表現出令人窒息的美感,這些定理殘酷無情又無懈可擊,人們圍繞他們寫就了一本本專著。我等普通人可能只能在門口瞄一眼,里面的世界我們根本不清楚。
前三個象限的數學知識對我們來說或者太容易,或者太難,或者太繁瑣,都不需要我們特別留意。
最值得學習的是簡單-深奧這個象限的數學知識。這些知識都是入門的知識,但卻違反了我們的直覺,需要我們更縝密的推理,如對隨機性的理解、對回歸的理解等。這些數學思想都與我們的生活產生直接聯系,為我們帶來益處,其應用將遠遠突破我們的數學的既有理解,它們是常備工具,只要應用得當,就可以避免我們犯錯。
 
吳軍博士在《數學之美》中這樣描述:
牛頓曾經說過,“真理在形式上從來都是簡單的,而不是復雜和含混不清的”,數學之美也體現在這里。如果你能拿數學工具來解決問題,那么不管你的方法多復雜,這里面的基本思想都應格是簡單的。
 
查理芒格也說過:
最好且最實用的智慧是最基本的學術智慧,但有一個相當重要的前提:必須從多元學科的角度來思考。
 
在生活中應時常運用大學一年級基礎學科中所有易學好懂的概念,如果達到自如運用的境界,就能提出解決問題的多種方法。
 

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克勞塞維茨說過:“數學就是常識的衍生物。”
數學如果脫離了常識的幫助,就變成了循規蹈矩地生搬書本知識,不會產生任何有益的結果。
正如1947年馮·諾依曼在他的論文《數學家》(The Mathematician)中發出的警告:
 
如果數學這門學科逐步偏離現實生活的經驗,并且漸行漸遠,以至于第二代和第三代數學人無法在“現實生活”中萌生某種想法并直接受到啟迪,那么我們將面非常嚴重的威脅,它會在唯美的道路上越走越遠,演變成“為了藝術而藝術”,如果周圍的相關學科仍然與經驗有著密切的聯系,或者某位鑒賞能力超強的人可以對數學產生影響,那么發生這種情況未必是件壞事。但是數學這種發展勢頭幾乎沒有受到任何阻力,而且在偏離經驗的過程中,分解成多個不起眼的分支,最終局面有可能是變得支離破碎、雜亂無章,這相當危險。換句話說,在遠離經驗的哺乳,或者說“抽象研究”大量“近親繁殖”之后,數學將面臨墮落的危險。
 
很多人恐懼數學是因為被學校的那些數學題打蒙了。但不要把應試數學和應用數學思想混為一談,在真實世界中,用數學思想思考問題,絕大多數情況下用不到復雜的計算技能。
就認識世界而言,數學應是一個思考工具,表達工具,而不是計算工具。
 
如保羅·洛克哈特在《一個數學家的嘆息》中所言:
數學的本質是表達的藝術。數學是在我們并不完美的生活基礎上,一種抽象的完美的表達方式,而我們在不完美的世界中,想要應用數學公式時發現對不上號,便不會去用了。
 
伯特蘭·羅素在《數學研究》中說:
學習數學的精髓時,不能只抱著應付差事的心理,而應該把這些知識融入日常思維,并通過各種激勵手段,使它們反復出現在你的腦海里。
 
亞伯拉罕•瓦爾德(Abraham Wald)的一個故事能精彩地演繹這個過程:
在第二次世界大戰期間,美國軍方在哥倫比亞大學建立了一個秘密研究小組,叫統計研究小組,它的任務是組織美國的統計學家為打贏二戰服務。小組中牛人無數,但是天賦最高是一位叫亞伯拉罕•瓦爾德的數學家。
這時候問題來了,美國軍方為了不讓自己的飛機被敵人的戰斗機擊落,需要給飛機裝上裝甲。但是裝甲會增加飛機的重量,這樣飛機的機動性就會減弱,還會消耗更多的燃油。所以,問題就是,怎樣在防御性能和飛行性能之間找一個平衡點,在哪里加強裝甲防護是最合適的。
軍方為數學家提供了很多數據,美軍飛機跟敵機交火后會留下很多彈孔。軍方發現機身上的彈孔比引擎上的彈孔更多。因此,軍方認為,最應該加強防御的是飛機的機身。
瓦爾德給出的答案與軍方的想法大不一樣。瓦爾德認為,需要加裝甲的地方不應該是彈孔多的部位,而是彈孔少的部位,也就是飛機的引擎。
為什么會是這樣的呢?從理論上講,飛機各個部位中彈的概率是一樣的。那么為什么返航的飛機身上的彈孔比引擎上的彈孔更多呢?也就是說,引擎上本來應該有的彈孔去哪兒了?瓦爾德認為,這是因為引擎被擊中的飛機都墜毀了,回來的飛機,機身上盡管留下了很多彈孔,卻仍然能經住打擊,所以才能安全回航。
數學家將其稱之為“幸存者偏差”,也就是說,你只看到幸存下來的,卻沒有看到那些已經死亡的。
瓦爾德運用這些簡單-深奧的數學知識,就像戴上一副X射線眼鏡通過現實世界錯綜復雜的表面現象看清本質。
 

6
數學是為了人類自身的生存而發展出的能力。
自然界是復雜而充滿未知的。我們周圍的環境變化莫測:什么時候會被襲擊,什么時候去捕獵,遇到危險怎樣找到最快的路徑逃跑?哪里最有可能找到食物?
其實我們無時無刻都在用數學計算,只不過有時是不自知的。比如你在開車的時候,大腦就進行了非常復雜的數學計算。我們用數學來預測自己可能會遇到什么,再通過跟現實的碰撞,不停的修正,重新預測。
數學的運算模式可以幫助我們在物理世界活下來,但這并不意味著發生在我們腦海里的計算一直是對的。
基思•斯坦諾維奇與其長期合作者理查德•韋斯特提出了著名的“雙系統理論”:
  • 系統1就像大腦的自動反應模式,系統1的運行是無意識且快速的,不怎么費腦力,沒有感覺,完全處于主控制狀態。
  • 系統2將注意力轉到需要費腦力的大腦活動上來,例如復雜的計算,理性思考,系統2的運行通常與行為、選擇和專注等主觀體驗相關聯。
人大部分時間都在使用系統1思考,很少使用系統2思考。
蕭伯納說:大多數人,每年最多思考兩三次。
300年前,在著名的南海泡沫事件中,人類有史以來最聰明的天才之一,牛頓,虧掉了兩萬英鎊,據說相當于現在的一億美金。
牛頓曾因而感嘆:“我能算準天體的運行,卻無法預測人類的瘋狂。”
數學鍛煉的就是用系統2思考的能力,用理性來審視世界。
 
查理•芒格說:
如果你沒有把這些基本的,但有些不那么自然的基礎數學概率方法變成你生活的一部分,那么在漫長人生中,你們將會像一個踢屁股比賽中的獨腿人。
 
讓我們來做一道題感受一下:
 
假設有一個女性叫琳達(Linda),31歲,單身,一位直率又聰明的女性,主修哲學。在學生時代,他對歧視問題和社會公正問題較為關心,還參加了反核示威游行。
請你根據這些情況,評估一下對琳達的種種描述之中,各自的可能性大小,并給排個名:
(1)琳達是個小學老師
(2)琳達在書店工作,她還在學瑜伽
(3)琳達積極參加女權運動
(4)琳達是婦女選民聯盟成員
(5)琳達是銀行出納
(6)琳達是保險推銷員
(7)琳達是銀行出納,還積極參與女權運動。
 
我對你的具體排序并不太感興趣,我關心的是以下兩個選項是如何排列的:
(5)琳達是銀行出納
(7)琳達是銀行出納,還積極參與女權運動
實驗結果是:幾乎所有受試者都認為「琳達是銀行出納,還積極參與女權運動」的可能性比「琳達是個銀行出納員」要高。
對于任何概率,同等情況下條件越多概率越小。他們都忽略了概率中集合論的基本問題:兩個集的交集不可能大于其中任何一個集。
這個就是著名的“琳達問題”,如果你答錯了,也不要自責,斯坦福大學決策科學專業的博士研究生,也有85%的人答錯。
 
再來一題(來自《黑天鵝》):
塔勒布在投資研討會說:“我相信下個星期市場略微上漲的概率很高,上漲概率大概70%。”但他卻大量賣空標準普爾500指數期貨,賭市場會下跌。他的意見是:市場上漲的可能性比較高(我看好后市),但最好是賣空(我看壞結果),因為萬一市場下跌,它可能跌幅很大。
 
分析如下:假使下個星期市場有70%的概率上漲,30%的概率下跌。但是如果上漲只會漲1%,下跌則可能跌10%。未來預期結果是:70%×1%+30%×(-10%)=-2.3%,因此應該賭跌,賣空股票盈利的機會更大。
如芒格所言,巴菲特每天做的,都是算這個簡單數學問題。與其說是一種數學能力,不如說是一種思維模式。知道容易,做到極難。
概率有時候顯得“反直覺”。
堅信概率,堅持按照優勢概率下注,哪怕違反直覺,哪怕屢屢受挫也不更改人生下注的原則,這就是贏家的秘密。
數學教會我們的一個基本道理:用理性戰勝本能!
克萊因說:數學是一種理性的精神,使人類的思維得以運用到最完美的程度。
舊石器時代的智人學會了利用石頭工具,軸心時代的新人類學會了一種理性工具。數學工具就好比舊石器時代的石頭工具。
有一次,我在網上看到一個問題大概是“有哪些讓你感嘆「寫出這種句子的人,我十輩子都追不上了」的句子?”。
我想起了約翰·納什的那句話:
“從精神病人回歸為一個理性人的快樂,和身體有病然后恢復健康的快樂還是不能相比的。”

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